В базовом ЕГЭ по математике есть задание, про которое ФИПИ пишет прямо: «задача традиционно наиболее трудная в базовом экзамене». Справляется с ней примерно половина выпускников.
В этой задаче нет ни одной формулы. Нужно знать, что такое делимость, и уметь перебирать варианты по порядку. Сам ФИПИ в разборе указывает, откуда берётся умение её решать: «развитие чувства числа начиная с 5–6 классов».
Она идёт четвёртой. Перед ней три задачи попроще, тоже из программы средней школы. Разборы в конце — сначала посчитайте сами.
Задача 1. Ночью минус, днём плюс
Ночью термометр за окном показывал −7 °C. К полудню потеплело до +5 °C.
На сколько градусов поднялась температура?
Где спотыкаются: вычитают меньшее из большего и получают 2. Минус перед семёркой — не украшение, он означает, что до нуля ещё нужно подняться, и этот участок пути часто теряют.
Задача 2. Два раствора смешали поровну
Смешали некоторое количество 14-процентного раствора соли с таким же количеством 12-процентного раствора.
Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Где спотыкаются: начинают строить уравнение с неизвестной массой и бросают. Условие «таким же количеством» делает задачу устной — но заметить это получается не у всех. Эту задачу ФИПИ относит к блоку, который решают около 33 % участников.
Задача 3. Вылили треть, потом половину остатка
Из полного бака вылили треть воды. Потом вылили ещё половину того, что осталось.
Какая часть бака занята водой теперь?
Где спотыкаются: складывают треть и половину, получают 5/6 вылитого и 1/6 остатка. Половина берётся не от бака, а от остатка — и это та же ошибка «от чего считаем», что и с процентами, только в другой одежде.
Задача 4. Та самая, самая трудная
Найдите натуральное число, которое больше 1000, но меньше 1300, делится на 18, и сумма цифр которого равна 18.
Достаточно назвать любое подходящее.
Где спотыкаются: начинают делить подряд все числа от 1001 и сдаются на двадцатом. Задача решается не перебором всех чисел, а сужением круга: два условия из трёх отсекают почти всё.
Четыре задачи из программы средней школы с разборами
Формул не нужно ни в одной — нужно понимание
Ответы и разборы
Задача 1. Ответ: на 12 градусов
Считать удобнее в два шага, по дороге через ноль.
От −7 до 0 — это 7 градусов. От 0 до +5 — ещё 5. Итого 12 градусов.
Ответ «2» получается, если вычесть 7 из 5 и не заметить, что отрицательное число лежит по другую сторону нуля. На числовой прямой это видно сразу: между −7 и +5 укладывается двенадцать единичных отрезков.
Задача 2. Ответ: 13 %
Количества одинаковые, поэтому ни массу, ни объём знать не нужно — ответ ровно посередине: (14 + 12) ÷ 2 = 13 %.
Если не верится, проверьте на числах. Возьмите по 100 граммов каждого раствора. В первом 14 граммов соли, во втором 12, всего 26 граммов соли на 200 граммов смеси. 26 от 200 — это 13 %.
Важная оговорка, из-за которой на этой задаче и теряют баллы: среднее арифметическое работает здесь только потому, что количества равны. Возьми мы 100 граммов первого и 300 второго, ответ был бы 12,5 %, а не 13.
Задача 3. Ответ: треть бака
Вылили треть — осталось 2/3. Вылили половину остатка, то есть половину от 2/3, — это 1/3 бака. Осталось: 2/3 − 1/3 = 1/3 бака.
Половина звучит как «половина бака», но берётся она от того, что было в баке к тому моменту. Эта подмена — самая частая причина ошибок в задачах на части, и она же стоит за ошибками в процентах: вопрос всегда один — от чего считаем.
Задача 4. Ответ: 1098 (а также 1188 и 1296)
Круг сужается в три приёма.
Первый. Число делится на 18 — значит, оно чётное и делится на 9. А у всякого числа, кратного 9, сумма цифр тоже кратна 9. Наша сумма 18 на 9 делится, так что условия друг другу не противоречат и такое число существует. Искать его будем среди кратных 18, а сумма цифр станет вторым ситом.
Второй. Кратные 18 в нужном промежутке: 1008, 1026, 1044, 1062, 1080, 1098 и дальше. Их в интервале меньше двадцати — это уже не бесконечный перебор.
Третий. Считаем сумму цифр по порядку. У 1008 это 9, у 1026 — 9, у 1044 — 9, у 1062 — 9, у 1080 — 9. А у 1098 сумма равна 1 + 0 + 9 + 8 = 18. Подходит, и проверка сходится: 1098 ÷ 18 = 61.
Дальше в том же промежутке найдутся ещё 1188 и 1296 — в задании просят назвать любое.
Всё решение заняло десяток действий. Трудной её делает не вычисление, а необходимость самому придумать, с какой стороны подступиться.
Что эти задачи на самом деле проверяют
Ни одна не требует формулы. Во всех четырёх ошибка, если она случается, — в одном и том же месте: от чего мы считаем и что вообще означает условие.
Минус перед числом означает положение относительно нуля. Половина берётся от остатка, а не от целого. Среднее работает, только когда количества равны. Делимость сужает перебор, вместо того чтобы его удлинять.
Это не память — это понимание, и оно либо сложилось в пятом-шестом классе, либо нет.
Почему это касается вашего ребёнка
Школьная контрольная проверяет приём: дан образец, подставь числа. Ребёнок, который выучил приём и не понял смысла, напишет её на четвёрку — и вы ничего не заметите.
Разрыв открывается позже, когда на этой базе начинают строить следующее. И тогда выясняется, что подтягивать надо не тему, на которой он споткнулся, а ту, которую он прошёл три года назад.
Проверить, где у ребёнка такие места, можно за пять минут: пройдите бесплатную диагностику. Без звонка и обязательств, на выходе — разбор по предметам и план, что закрывать в первую очередь.
Источники
- Методические материалы ФИПИ по итогам ЕГЭ-2026 по математике — задания 19 и 20 базового уровня, проценты выполнения и разбор типичных ошибок
- Аналитические и методические материалы ФИПИ — отчёты по всем предметам
Telegram
ВКонтакте